Haar und Hut

Neun Frisuren, sechs Kopfbedeckungen – und darunter genau zwei Bauweisen für alles, was am Kopf wächst. Das ist die größte Vereinfachung dieser Ausgabe, und sie trägt fast das ganze Kapitel. Was am Kopf sitzt, geht zwei andere Wege: der Hut als Figur, die Mütze als Körper im Tiefenpuffer.

Alle Massen sind DIESELBE Schale über dem Schädel, mit anderem Ansatz, anderer Dicke und anderem Zierrat am Rand. Bis auf die eine, die keine Schale ist, sondern eine Kugel: der Afro.

Zwei Sorten

Eine Masse ist eine Schale: die Kopfoberfläche wird oberhalb einer Ansatzlinie abgetastet, und jeder Punkt bekommt eine Dicke entlang seiner Normale. Der Umriss dieser aufgeblasenen Fläche ist der Umriss der Frisur. Weil das in Kugelkoordinaten passiert und nicht in Pixeln, wandert ein Seitenscheitel bei der Drehung korrekt mit, statt im Bild festzukleben.

Beiwerk sind einzelne Züge auf der Kopfhaut. Kein Umriss, keine Füllung, kein Loch fürs Gesicht – ein paar Kringel auf dem Scheitel und fertig.

Sorte	Werte	Was gebaut wird
Masse	`haube`, `pony`, `seitenscheitel`, `lockenwolke`, `igel`, `zoepfe`, `dutt`, `afro`, `punk`, dazu die `kappe`	Punktwolke über dem Schädel, Umriss, Füllung, Ansatzlinie. Der Punk baut seine Kappe direkt (Kante als Ring auf einer Höhe, darüber der Kopfumriss versetzt) und setzt einen Fächer aus Flammen im Raum darauf
Beiwerk	`flaum`, `locken`, `stacheln`, `antenne`	ein paar Züge auf Ankern der Kopfhaut

Was bewusst fehlt: langes Haar, das unter die Schläfen fällt und neben den Wangen hängt. Es verlangt eine innere Berandung entlang der Wange, und die ist die Hälfte des Aufwands der ganzen Geometrie. Stattdessen wird der Ansatz über dem Gesicht geklemmt – dann ist die innere Berandung immer die Ansatzlinie selbst. Zöpfe hängen deshalb hinter dem Kopf, nicht daneben.

Der Ansatz

haaransatz(dna, opt) gibt eine Funktion zurück: zu jedem Längengrad u die Höhe v, auf der das Haar anfängt. Vorn tiefer als hinten, mit einer Welle an den Schläfen. Alles Weitere – Zacken, Welle, Neigung, feste Höhe für den Hut – sind Aufsätze auf dieser einen Grundlinie.

Die Untergrenze ist die Klemme (ansatzKlemme). Ansatzhöhe und Augenlage kommen aus unabhängigen Zügen und wissen nichts voneinander; ohne die Klemme rutscht der Ansatz unter die Augen und die Frisur verdeckt das halbe Gesicht. Wo sie liegt, würfelt der Kopf: mal ein Stück über der Braue, mal bis unter das Auge – Haar darf ans Auge, eine Strähne, die den Augenrand streift, ist Frisur. An den Schläfen darf es tiefer: dort verdeckt es nichts, und eine lange Strähne an der Schläfe gibt einer Frisur die Richtung.

Die Zacken sind Anteile am Raum zwischen Grundlinie und Klemme, keine festen Beträge. Als feste Beträge stießen sie fast immer an die Klemme und wurden flach abgesägt – jeder Pony trug dasselbe Trapez auf der Stirn. Als Anteil bleibt eine Zacke ein Dreieck. Das Trapez gibt es weiter, aber als Sorte: manche Köpfe bekommen Zacken, die tiefer wollen als der Raum hergibt, und die Klemme kappt sie – ein gerade geschnittener Pony. Die Spitze sitzt nicht in der Mitte ihrer Zacke, sondern schief; mittige Spitzen hingen bei drei Zacken immer genau über der Nase.

Ein Sprung in der Randfunktion ist ein Loch in der Fläche

Symptom: seitlich fiel ein Zacken durch die anderen hindurch, und die Füllung bekam an dieser Stelle ein Loch.

Ursache: die Klemme sprang stufig bei 0.85 und 1.05, und zwar um einen Betrag, der größer war als der Abstand zweier Abtastpunkte des Ansatzes. Zwischen zwei Punkten stürzte die Linie als dünner Keil nach unten und kreuzte dabei den Außenrand.

Lösung: weich statt in Stufen (t*t*(3−2t)). Der Satz gilt allgemein: ein Sprung in einer Randfunktion ist immer ein Loch in der Fläche, die daraus gebaut wird.

Der Schläfenfall

Zu den Seiten hin sinkt der Ansatz, die Frisur hängt neben den Augen herab und rahmt das Gesicht. Ohne ihn endet das Haar über der Schläfe in einem schrägen Schnitt und der Kopf trägt eine Kappe.

Das ist ausdrücklich keine Zacke. Eine Zacke an der Silhouette ist eine schmale Zunge, die bei jeder Drehung mit dem Umriss kämpft; ein weicher Fall ist ein Lappen mit runder Spitze, der bei der Drehung nur zur Mitte kippt. Wie stark er ausfällt, würfelt der Kopf: gar nicht, halb, voll. Ein Blatt, auf dem jede Frisur gleich weit herunterhängt, ist ein Schnitt, keine Streuung.

Die Zacken

Zwei bis fünf Spitzen, jede anders tief und anders breit, und eine davon die tiefe – sonst sind alle mittelmäßig. Ein glatt abgeschnittener Pony ist eine Badekappe; die Zacken machen daraus Haar, das jemand geschnitten hat.

Der Faden an der Schläfe

Symptom: an der Schläfe lief ein dünner Streifen Haar an der Kopfkante herunter, und bei jeder Drehung zappelte er.

Ursache: die tiefe Zacke war eine Randzacke. Dort ist die Schale dünn und liegt dicht an der Silhouette – eine tiefe Zacke ist an dieser Stelle keine Zacke mehr, sondern eine schmale Zunge über der Kante, und aus jeder Kopfdrehung wird ein Kampf zwischen Umriss und Ansatz.

Lösung: zwei Deckel. Die beiden Randzacken bleiben bei höchstens 0.24 (ein fester Betrag, kein Anteil: es geht um die Silhouette, und die ist so groß wie der Kopf), die tiefe wandert nach innen. Und der Zackenbogen reicht bis ±1.4, nicht bis auf die Silhouette – dort lagen die äußeren Spitzen früher genau auf der Kante.

Die Dicke

Die Dicke läuft am Ansatz aus, nicht über die ganze Höhe. Zwei Fehler liegen hier dicht beieinander, und man sieht beide von weitem.

Der waagerechte Keil

Symptom: seitlich ragte ein waagerechter Keil aus dem Kopf, ungefähr auf Augenhöhe.

Ursache: die Schale stand an ihrer Unterkante in voller Dicke. Weil sie radial nach außen aufgeblasen wird, zeigt sich das an der Silhouette als Stufe.

Lösung: nur das letzte Stück über dem Ansatz wird dünner (0.4 in v, geglättet auf 28 %). Der andere Fehler liegt gleich daneben: läuft die Dicke über die ganze Höhe aus, ist die Frisur an den Seiten platt und klebt am Schädel wie nasses Haar.

In derselben Funktion steht die zweite Zahl, die man nicht raten kann: nu = 144. Mit 56 Längengraden hatte der schmale Lappen an der Schläfe Lücken in den Winkelfächern des Umrisses, der Bogen brach ab, und die Füllung endete über der Ansatzlinie. Es sind trotzdem nur ein paar tausend Punkte – ein Bruchteil des Schädels.

Das Gebiet

Aus zwei Kurven wird ein Polygon: außen der Umriss der Wolke (bogenUm: −PI/2, hinter: kontur), innen zurück entlang des sichtbaren Ansatzes. Das klingt nach zwei Zeilen und ist der Ort, an dem die meisten Frisuren-Fehler gewohnt haben. masseZug ist deshalb exportiert – dieses Prüfbild steht besser auf einer Doku-Seite als in einer Wegwerf-Testdatei.

Der Ansatz, der über die Wange läuft

Symptom: bei starker Drehung lief die gezeichnete Ansatzlinie als dünner Faden neben der Füllung über die Wange weiter.

Ursache: Außenrand und Ansatz kommen aus zwei Quellen. Bei starker Drehung und einer tief hängenden Zacke endet die Ansatzlinie weiter außen als der Umriss; das Polygon schließt sich dann über eine Sehne, und die Füllung hört dort auf.

Lösung: stutzeAnsatz – was jenseits des Umrisses liegt, fliegt weg. Nur an den Enden; in der Mitte gehört die Linie dorthin, wo sie ist.

Die gekappte Zunge

Symptom: an der Schläfe fehlte die Spitze der Frisur, oder es hakte dort eine dünne Spitze ins Gesicht zurück.

Ursache: die Naht wurde an der engsten Stelle gesetzt. Auf der Zunge an der Schläfe liegen Umriss und Ansatz aber die ganze Strecke dicht beieinander – das Minimum trifft irgendeinen Punkt mitten darauf.

Lösung: an der spätesten engen Stelle schneiden, nicht an der engsten: der letzte Punkt unter der Schranke von 0.055. Das behält die Zunge und wirft nur weg, was hinter ihrer Spitze noch herumhakt. Der Unterschied zwischen beiden Zeilen ist die ganze Frisur.

Der Lappen auf der fernen Seite

Symptom: bei einem gedrehten Kopf hing die Frisur auf der abgewandten Seite als Lappen bis in Ohrhöhe herab, mit fast waagerechter Unterkante; die Kopfkontur lief sichtbar hindurch. Auffällig unter dem Hut, wo die Schale dünn ist.

Ursache: der Außenrand ist ein radialer Umriss um die Kopfmitte – je Winkelfach der fernste sichtbare Punkt der Schale. Hängt die Masse auf der fernen Seite tief, zeigen die Fächer schräg unten durch die Masse hindurch, und der fernste Punkt dort ist der Ansatz selbst, die Flanke einer Zacke. Der Rand biegt an der Schläfe nach innen und läuft die Zacke entlang; die Naht schneidet an der spätesten engen Stelle und behält genau diesen Innenlauf.

Lösung: stutzeAussen kürzt den Außenrand von beiden Enden her um alles, was nah am Ansatz und merklich innerhalb der Kopfkontur liegt – „nah“ heißt eine Schalendicke, denn der Innenlauf ist die aufgeblasene Flanke, nicht die Haut. Echte Silhouette sitzt auf der Haut plus Dicke, also außerhalb der Kontur – die Zunge des Igels bleibt.

Der waagerechte Schnitt in Augenhöhe

Symptom: dort, wo der Außenrand in den Ansatz überging, saß eine gerade Kante quer über der Schläfe.

Ursache: der Außenrand ist die Silhouette der aufgeblasenen Schale, der Ansatz liegt auf der Haut. Zwischen dem Ende des einen und dem Anfang des anderen steht die volle Dicke der Schale, und das Polygon schließt sie mit einer Sehne.

Lösung: rundeZipfel setzt an beiden Enden einen Bogen ein, der die Richtung des Außenrands fortsetzt und in den Ansatz einschwenkt. Eine Hand zeichnet dort keinen Schnitt, sondern einen Lappen mit runder Spitze.

Dazu eine dritte, kleinere Entscheidung: der Ansatz wird ein Stück über die Sichtgrenze hinaus abgetastet (rand = 0.06). An der Schläfe hängt er tief, und der äußerste Punkt der Frisur liegt in dieser Richtung schon auf der abgewandten Seite – hörte die Linie an der Sichtgrenze auf, bliebe ein langer dünner Zwickel. Aber nur ein kleines Stück: läuft die Abtastung weit hinaus, wickelt sich die Ansatzlinie um die Silhouette und läuft als Keil quer übers Gesicht zurück.

Der Afro ist eine Kugel

Jede andere Masse ist Schädel plus Dicke und erbt seine Form: ein kastiger Kopf bekommt eine kastige Frisur. Beim Afro ist es umgekehrt. Die Frisur hat eine eigene Form, und der Schädel steckt darin.

Also wird die Dicke nicht vorgegeben, sondern AUSGERECHNET: so viel, dass die Außenfläche auf einer Kugel um die Kopfmitte liegt. Wo der Schädel weit ist, ist das Haar dünn. Deshalb sieht der Afro auf einem langen und auf einem runden Kopf gleich aus – im Gegensatz zur Lockenwolke, die auf einem langen Kopf lang wird.

Die Rechnung

Gesucht ist die Strecke entlang der Normale bis zur Zielfläche – denn genau entlang der Normale bläst wolke() den Punkt auf. Solange die Kugel um die Kopfmitte liegt, ist das dasselbe wie „Zielradius minus Kopfradius". Sitzt ihr Mittelpunkt höher (hoeher), ist es das nicht mehr: dann ist es der Schnitt einer Geraden mit einem Ellipsoid, also eine quadratische Gleichung. Die positive Wurzel ist der Austritt nach außen; liegt der Kopfpunkt schon außerhalb, greift die Mindestdicke, sonst hätte die Frisur dort ein Loch.

Mit Verjüngung (keil) hängt die Breite der Zielfläche von der Höhe ab – und die kennt man erst, wenn man die Strecke kennt. Die Gleichung ist dann nicht mehr geschlossen lösbar. Drei Durchgänge genügen: die Verjüngung ist glatt, und der erste Schuss (Breite auf Höhe der Haut) liegt schon nah dran. Ohne Verjüngung fällt die Schleife nach dem ersten Durchgang auf denselben Wert wie vorher.

Die breite Kappe

Symptom: statt einer Kugel saß auf dem Kopf eine breite Kappe mit einer Kante rundum.

Ursache: die Masse endete am Haaransatz. Der Ansatz ist die Linie auf der Stirn – hört die Masse dort auf, gibt es neben den Wangen kein Haar.

Lösung: eine zweite Unterkante (massen gegen unten). Sie fällt zu den Seiten hin bis neben die Wangen. Zu sehen ist sie nie – sie liegt hinter der Kopffläche, und was übersteht, ist der Ring aus Haar rund um das Gesicht.

Sechs Sorten statt eines Bereichs

kugel, turm, wolke, kurz, dreieck, pilz. Ein breiter Bereich wäre der bequemere Weg und der falsche: gleichverteilte Werte landen fast alle in der Mitte, und ein Blatt aus lauter mittelgroßen Afros ist eine Schablone. Dieselbe Überlegung steht hinter den Breiten der Locken und hinter den Hutsorten.

Sorte	Was sie ausmacht
`kugel`	geht bis an das, was die Zelle hergibt, und hängt tief herunter – nur dann schließt sich die Silhouette zum Kreis
`turm`	dieselbe Kugel, aber ihr Mittelpunkt sitzt über der Stirn; schmaler, sonst stünde sie oben aus der Zelle heraus
`wolke`	breiter als hoch und deutlich beuliger
`kurz`	sitzt eng an und endet über den Ohren
`dreieck`	unten am Kiefer am breitesten, nach oben schmal – mit tief liegender Unterkante, sonst bliebe nur die Spitze
`pilz`	das umgedrehte Dreieck: oben ausladend, zur Schläfe hin schmal

Was beim Afro anders läuft

Der Afro braucht die Naht nicht – und darf sie nicht haben. Bei jeder anderen Masse laufen Umriss und Ansatz an der Schläfe dicht zusammen; beim Afro liegen sie einen halben Kopf auseinander. Die Naht fände dort kein Paar und schnitte irgendwo. Stattdessen wird der Umriss für die Füllung auf das Stück über dem Ansatz beschnitten, und das Gebiet schließt sich über zwei radiale Sehnen. Radial ist die Bedingung: eine Sehne vom Schläfenende zum tief hängenden Ende des Bogens liefe quer über die Wange – und diese Füllung liegt vor dem Gesicht.

Die Sehne quer durchs Gesicht

Symptom: bei einem Afro, der nur an einer Seite hervorschaute, lag eine Linie quer über dem Gesicht, ungefähr auf Mundhöhe.

Ursache: die Unterkante der Masse hängt hinten tief und projiziert sich von vorn nach innen. Sie belegt die unteren Winkelfächer mit einem kleinen Radius; der Umriss läuft dann einmal um den Kopf herum. Früher blieb nur der längste Lauf außerhalb übrig – das war eine einzelne Flanke, und die Füllung schloss sich von dort mit einer Sehne.

Lösung: ausserhalb. Genommen wird das Stück vom ersten bis zum letzten Punkt außerhalb der Kopfkontur. Dazwischen wird nicht gelöscht, sondern auf die Kontur geklemmt: wo die Frisur nicht über den Kopf hinausragt, folgt ihr Rand der Kopfkante.

Der Zacken unten am Afro

Symptom: an den Seiten, ungefähr auf Höhe der Ohren, hörte das Haar abrupt auf – mit einer waagerechten Kante und einem gefüllten Zipfel, der neben der Wange in der Luft stand. Und das an einer Stelle ohne jede besondere Zone: dort liegt die Masse sicher hinter dem Kopf und könnte ganz normal auslaufen.

Ursache: dort taucht die Kugel unter die Kopfkontur, und hinter dem Kopf zählt sie nicht mehr zum Umriss (siehe hinter in umriss). Das letzte Winkelfach mit sichtbarer Masse liegt deshalb nicht auf der Kontur, sondern noch ein Stück davor: bei knapp vier Grad Fachbreite fällt der Umriss dort um mehr als ein Zehntel Kopfradius, und das ganze Stück zwischen dem letzten Fach und der Kontur fehlt. Der Rand brach also neben der Wange ab – und weil die Fläche ihn mit einer Sehne zwischen seinen beiden Enden schließt, wurde aus dem Abbruch ein gefüllter Zipfel. Genau die Sehne, von der die Notiz im Quelltext behauptete, sie liege im Kopf und sei nie zu sehen.

Lösung: laufeAus. Jedes Ende bekommt ein Fach dazu, im selben Winkelschritt weiter und mit der Kontur als Radius. Der Rand endet damit an der Kopfkante statt daneben, und die Sehne liegt wieder im Kopf. Knapp innerhalb der Kontur, nicht genau auf ihr: der Strich wackelt, und ein Wackler auf der Kante wäre wieder ein Zipfel. Läuft der Rand schon rundum, bleibt er wie er ist – dort liegt im nächsten Fach nicht der Kopf, sondern das andere Ende, und der Anschluss risse eine Kerbe in die Frisur.

Für die Rauung des Randes, die Fransen und die Kringel in der Masse gilt dieselbe Regel wie für jeden Zierrat auf einer Silhouette: sie hängen am Winkel, nicht am Punktindex. Der Umriss kommt aus Winkelfächern und wandert bei jeder kleinen Drehung um einen Punkt weiter – an den Index gehängt liefe die Rauung bei jedem Atemzug einmal um den Kopf. Die drei Oberschwingungen haben ganzzahlige Frequenzen, damit der Rand sich rundum schließt; eine krumme Frequenz gäbe bei ±π einen Sprung.

Und alle Würfe fallen VOR der Sichtbarkeitsprüfung. Sonst zieht ein Kringel, der sich gerade wegdreht, den ganzen Strom hinter sich her, und bei jeder kleinen Drehung ändern alle folgenden ihre Größe – ein flackerndes Muster.

Der Rand ist die Locke

Der Vorgänger legte auf eine glatte Kante eine Kette Ballen. Weil der Rand darunter durchlief, las sich das als Perlen auf einer Schnur, nicht als Haar. Hier wird der Rand selbst zur Folge von Wickeln, alle in dieselbe Richtung geschert, sodass die Kämme überhängen wie gedrehte Strähnen. In jedem Wickel liegt eine offene Spirale – erst sie macht aus der Ausbuchtung eine Locke. Ein geschlossener Ring läse sich als Loch.

Der Sinusbogen wird eine Säge

Symptom: die Kante der Lockenwolke sah aus wie die Zacken-Frisur, von der sie sich gerade unterscheiden soll.

Ursache: ein Sinusbogen läuft an beiden Enden flach aus und trifft seinen Nachbarn in einer Spitze.

Lösung: ein Halbkreis. Er steht an seinen Enden senkrecht – jeder Wickel ist eine runde Beule mit einer Kerbe daneben. Dazu ein kleiner Einzug zwischen den Wickeln: ohne ihn stehen sie auf einer glatten Grundlinie und die Kante wellt nur.

Auch hier zwei Größenklassen statt eines breiten Bereichs (ein Viertel dicke Wickel zwischen dünnen), eine Held-Locke, die deutlich größer ist als die anderen, und eine Kippe zu einer Seite – eine Frisur hat eine Seite, auf der mehr liegt.

Der Ansatz der Lockenwolke bekommt dieselben Wickel, nur nach innen gebeult (richtung: -1), in derselben Scherung wie der Außenrand und GRÖBER geteilt (teilung: vier bis fünf statt neun bis dreizehn auf die Länge): wenige runde Beulen, die auf die Stirn hängen. Darunter liegt die ruhige Welle, nicht die Zacken – Zacken unter den Beulen waren Spitzen zwischen Rundungen, eine Säge mit Rüsche; die feine Teilung des Außenrands im Kleinen las sich als Rüsche ohne Säge. Erst wenige, große Wickel sind Locken.

Der Hut ist ein Körper

Der Hut geht denselben Weg wie die Mütze: Krone und Krempe sind zwei Drehflächen aus je einem Profil, auf den Schädel geschrumpft, und der Tiefenpuffer sagt, was man sieht. Vorher war er eine Figur aus Ringen, deren Umriss von Hand konstruiert wurde – konvexe Hülle der Krone mit dem vorderen Fußbogen als Boden, die Krempe in zwei Hälften nach dem Blick, die hintere vor der Kopffläche. Jede dieser Regeln stimmte, solange sie stimmte, und jede musste einzeln gefunden werden. Zwei Körper, weil beide ihren eigenen Rand brauchen: die Krempe ihre Außenkante rundum, die Krone ihre Silhouette dort, wo die Krempe sie nicht deckt.

Die Krempe hat eine Filzdicke (0.03): zwei Zeilen im Gitter, Außenkante oben und unten. Ohne sie ist sie eine Ellipse ohne Höhe, und genau von der Kante gesehen fällt sie zu einer Linie zusammen. Zum Kronenfuß hin steigt sie als Auflage bis auf die Höhe des Fußes und greift ein Stück in die Kronenwand hinein; ihre Innenkante liegt im Schädel. Die Neigungen – schwung zum Rand hin, kippe vorn gegen hinten, die delle im Deckel – werden nachträglich je Winkel auf das Gitter gesetzt; sie hängen am Winkel im Kopf, nicht am Blick.

Geschrumpft wird auf den Schädel, nicht auf Schädel plus Haar – dieselbe Entscheidung wie bei der Mütze. Der alte Hut maß den Schädel mit dem Haar (haarPolster), damit er nicht neben der Frisur in der Luft hing; über einem Afro wurde er so zum Deckel auf einer Kugel. Man setzt einen Hut auf den Kopf, und das Haar weicht: es wird mit derselben Regel wie unter der Mütze (stopfeUnter, die Krone als Kappe) in die Krone gestopft und läuft unter der Krempe im Kegel wieder auseinander. Anders als unter der Mütze werden unter dem Hut alle Massen gezeichnet – nur das Beiwerk (Kringel, Stacheln) nicht, es stieße durch die Krone. Die Schalen unter Hut und Mütze sind dicht (40 Ringe): grob war zwischen zwei Ringen ein Absatz, der von vorn ganze Seiten der Frisur schluckte.

Fünf Sorten, und warum die Achsen gekoppelt sind

fedora, trilby, sonne, zylinder, eimer. Entscheidend ist die Kopplung von Kronenhöhe und Krempenbreite: hohe Krone mit weiter Krempe wird ein Pilz, flache Krone mit knapper Krempe verschwindet zwischen den Ohren. Deshalb wird die Sorte gewürfelt und nicht jede Achse für sich.

Dazu kommt der sitz: ab und zu thront der Hut oben auf dem Kopf statt zu sitzen. Weiter oben ist der Schädel schmaler, also wird derselbe Hut von selbst kleiner. Seine Krempe misst dann aber am Kopf und nicht am schmalen Kronenfuß – sonst verschwände sie hinter den Schläfen, und ein Hut ohne sichtbare Krempe ist ein Eimer.

Was der Puffer zeichnet

Die Fläche ist ein Gebietsrand aus dem Puffer – und zwar einer für Krone und Krempe zusammen. Getrennt gefüllt blieb an der Naht ein Faden Papier: der Fehldruck versetzt jede Fläche für sich, und zwei geglättete Ränder liegen nie aufeinander. Die Striche sind Ringe des Gitters, aus denen die verdeckten Stücke herausgeschnitten sind – nicht der Gebietsrand als Strich, der liefe hinten an der Kopfkontur entlang und zöge sie doppelt. Unter dem Band steht keine Linie: das Band grenzt Krone und Krempe ab, und beide lägen fast immer dicht beieinander. Der Kronenrand wird nur dort gestrichelt, wo er nicht an Krempenzellen entlangläuft.

Die Außenkontur der Krempe ist ihre Silhouette, nicht die obere Kante allein. Die Kamera sitzt auf Kopfhöhe, die Krempe darüber, die Brennweite ist kurz: meist sieht man sie von leicht unten, und dann verdeckt die eigene Unterseite an den Seiten die obere Kante. Also je Winkel die obere Kante, wo sie zu sehen ist, sonst die untere; der dünne Strich der Filzdicke nur, wo beide zu sehen sind. Die hintere Außenkante läuft von der Spitze nach hinten, bis sie hinter der Krone verschwindet – im Bild die Seite der Krempenoberseite, die am Band endet. Dass sie dabei hinter der eigenen Krempe liegt, zählt nicht als verdeckt: die Krempe liest sich als Band, und das Band hat Seiten. Hinter der Krone – zwischen ihren Bildrändern – bleibt sie weg, sonst liefe die hintere Kontur quer durch die Krempe.

Anders als bei der Mütze steht das Haar mit im Puffer. Unter der Krone kann es nie vor dem Hut liegen – aber unter der Krempe schon: sieht man ihre Unterseite (Kopf im Nacken), läuft die Masse unter dem Kronenfuß vor dem inneren Teil der Krempe weiter, und die Krempe muss dort zurücktreten. Das gilt für jede Frisur, nicht nur den Afro. Damit das Haar nicht neben der Krone aus der Unterseite wächst, bleibt es bis unter die Auflage im Schädel eingezogen (saumUnten).

Der Spalt zwischen Krone und Krempe

Symptom: zwischen Krone und Krempe schimmerte ein Faden Papier durch, auch auf dem kahlen Kopf.

Ursache: zwei Flächen, zwei Gebietsränder, zweimal Fehldruck – der Versatz zog sie auseinander. Vorher schon: die Auflage endete tiefer als der Fuß, und von unten sah man zwischen Fuß und Krempe auf das Haar.

Lösung: Krone und Krempe als ein Gebiet füllen; die Auflage bis auf Fußhöhe und mit Überlapp in die Wand.

Die Außenkante, die an den Seiten fehlte

Symptom: die Kontur der Krempe stand nur vorn; an den Seiten blieb der dünne Filzstrich. Die Seiten der Oberseite fehlten ganz.

Ursache: die Kontur verlangte die obere Kante, und die ist von leicht unten an den Seiten hinter der eigenen Unterseite – richtig verdeckt. Die Seiten hingen an der Sichtbarkeit des Kronenfußes, und der liegt von unten hinter der Auflage.

Lösung: die Silhouette zeichnen (obere Kante, sonst untere), und die hintere Kante außerhalb der Kronenbreite trotz eigener Krempe davor. Ein Umweg, der Zeit kostete: eine Gerade von der Kronenecke zur Krempenspitze – falscher Ansatz, gerade über einem Bogen; die echte Kante hat den Bogen der Fläche und endet von selbst am Band.

Das Band als Schatten unter dem Hut

Symptom: das Hutband las sich nicht als Band, sondern als dunkler Streifen unter der Krempe.

Ursache: es saß auf dem Kronenfuß – also genau dort, wo die Krempe ansetzt, und wurde von ihr halb überdeckt.

Lösung: ein Stück höher an der Krone, als Fläche mit zwei Kanten statt als dicker Strich, in einem dunkleren Ton desselben Stoffs (stoffTief) – eine eigene Farbe wäre ein zweites Kleidungsstück am Kopf.

Die Mütze ist ein Körper

Die Wollmütze ging diesen Weg zuerst, der Hut folgte ihr. Jede Frisur ist eine Schale, also der Schädel plus eine Dicke. Für Haar ist das richtig – ein kastiger Kopf bekommt eine kastige Frisur. Ein Kleidungsstück hat aber seine eigene Form: eine Mütze sitzt auf einem langen Ei anders als auf einem runden Kopf, und ist doch dieselbe Mütze. Deshalb ist sie eine Drehfläche aus einem Profil, ein fertiger Körper, den man auf den Kopf schiebt, bis er sitzt. Und sie verdeckt, statt zu schneiden: was unter ihr liegt, wird nicht vorher weggerechnet, es verliert im Tiefenpuffer.

Die Drehfläche

Ein Profil in (Radius, Höhe): unten die Rolle des Aufschlags als Halbrund, innen angesetzt, bauchig, oben gerundet; darüber die Krone als Kuppel mit langer fast gerader Wand und kurzer Rundung obenauf – eine Halbkugel wäre eine Badekappe. Um die senkrechte Achse gedreht, mit getrennten Halbachsen für x und z, weil ein Kopf ein Ei ist und kein Zylinder. Weil es Dreiecke sind und keine Punkte, ist die Fläche lückenlos, wie grob man sie auch teilt: eine Handvoll Profilpunkte trägt eine ganze Mütze.

Dann wird sie auf den Schädel geschrumpft: jeder Punkt wandert so weit nach außen, bis er freihat, was unter ihm liegt. Das „darunter" ist eine Hindernistafel – der größte Radius der Schädelwolke je Höhe und Längengrad, gelesen über ein kleines Fenster von Nachbarfächern, damit ein Stück Stoff nicht in die Wölbung darunter schneidet. Der Profilradius ist dabei ein Abstand von der Kopffläche, kein Vielfaches einer Grundweite: ein gemeinsamer Faktor je Längengrad käme von der engsten Stelle des Profils, und der Bauch des Aufschlags, der ohnehin Luft hat, würde ein zweites Mal aufgeblasen – ein Pilz statt einer Mütze. Über dem Kopf gibt es kein Hindernis mehr; dort trägt allein das Profil, und daraus wird die Kuppel.

Geschrumpft wird auf den Schädel, nicht auf Schädel plus Haar. Eine Mütze, die um die Frisur herumwächst, wird über einem Afro zum Zelt. Man setzt eine Mütze nicht auf die Haare, man zieht sie über den Kopf, und die Haare weichen. Der Zuschlag (0.055) ist trotzdem nicht null: unter der Wolle liegt immer etwas.

Der Unterschied zu einem Ansatz auf einem Breitengrad ist der Grund für das Ganze: derselbe Breitengrad liegt auf einem langen Schädel weit oben, wo er schon schmal ist, und eine Mütze, die dort ansetzt, wird zum Teller mit Rüsche. Eine Höhe im Kopfraum liegt immer da, wo sie liegt. Der Bommel ist ein eigener kleiner Körper am obersten Punkt der Mütze – wer an einem Punkt der Mütze hängt, fährt beim Nicken mit ihr, statt wie früher vom Schädelscheitel an den Rand des Kronenumrisses zu wandern.

Der Tiefenpuffer

Alles andere in dieser Geometrie beantwortet die Frage „was verdeckt was?" mit einer Aussage über den Kopfraum – eine Ebene, unter der kein Haar mehr liegt (der alte Hutdeckel), eine Schranke, hinter der ein Punkt als verdeckt gilt, zwei Pässe für hinten und vorn. Das ist richtig, solange die Aussage stimmt, und jede musste einzeln gefunden werden. Der Puffer stellt die Frage anders: er rastert die Körper mit ihrer Tiefe in ein Gitter (176 × 176 Zellen, zwei Hundertstel Kopf je Zelle, feiner als der Verzug des Stifts) und lässt an jeder Bildstelle den vordersten gewinnen. Wer danach wissen will, ob ein Punkt zu sehen ist, vergleicht – er schätzt nicht.

Er ist bewusst klein und läuft auf der CPU: der Stift läuft dort, und ein Puffer auf der Grafikkarte müsste für jede Frage zurückgelesen werden. Und er ist kein Bild. Er wird nie gezeichnet. Er beantwortet drei Fragen – was liegt an dieser Stelle vorn, wo endet das Gebiet eines Körpers, ist dieser Punkt frei –, und die Antworten gehen als Kurven an den Stift. Der Rand des Mützengebiets wird Fläche und Randstrich aus demselben Zug; die Rippen sind eine Familie Meridiane über das ganze Profil, und welches Stück man sieht, sagt der Puffer: ein Zug, der hinter etwas läuft, wird zerlegt und nicht ausmaskiert. Deshalb behält jedes sichtbare Stück seine Enden und seine Verjüngung. Damit fällt die alte Regel „die Umschlagkante muss die breiteste Stelle sein" – sie kam aus der Umriss-Konstruktion, nicht aus der Mütze; jetzt darf die Rolle bauchen und die Kante darüber enger sein, und genau so sieht ein Aufschlag aus.

Im Puffer stehen nur die Mütze, der Bommel und der Schädel – der Schädel als grobes Gitter (36 × 40) und nur als Verdecker: die Mütze läuft hinten um ihn herum, und ohne ihn schlüge ihre Rückseite als Lappen ins Gesicht. Seine gezeichnete Kontur kommt weiter aus dem Umriss. Das Haar steht nicht darin: es ist unter die Mütze gestopft und kann nirgends vor ihr liegen. Kosten: etwa 1.9 ms je Kopf mit Mütze gegen 0.6 ohne.

Das Haar unter die Mütze

Die Frisur bekommt von der Kopfbedeckung ihre Linie, nicht umgekehrt. Nur Afro, Pony und Lockenwolke werden unter der Mütze überhaupt gezeichnet (UNTER_MUETZE_SICHTBAR) und in sie hineingestopft; jede andere Frisur ist unter der Mütze ein Kopf ohne Haar. Der harte Fall ist der Afro: eine Kugel, in der der Kopf steckt, weiter als jede Mütze. Ihn zu verdecken reicht nicht – er stünde rundherum unter der Kante hervor, und die Mütze säße als Deckel obendrauf.

stopfeUnter stopft das Haar in die Kappe – unter der Mütze wie unter der Hutkrone, beides ein Stopfbau. Innerhalb der Mütze liegt jeder Punkt höchstens auf ihrer Innenseite, tief hinein (Saum 0.14, Deckel 0.3 unter der Kronenspitze): was die Frisur auf ihre Silhouette setzt – Wickel, Fransen, Stacheln – steht bis 0.14 darüber und stünde sonst neben der Krone. Unter der Aufschlagkante darf die Masse nur in einem Kegel wachsen, der am Schädel ansetzt und nach unten weiter wird; weiter unten bleibt alles, wie es war – der Kranz um die Ohren ist der Grund, warum man dem Kopf die Frisur noch ansieht. Der Kegel ist vorn und seitlich steil (0.5) und hinten flach (2.2) mit dem Fuß zwischen Schädel und Rand: hinten kommt das Haar sichtbar unter dem Rand hervor und der Rand steht noch darüber; vorn und an der Seite liegt es unter der Kante am Kopf an und fällt von der Mützenecke weg, dazwischen ist Kopfkontur zu sehen. Was das Stopfen verschoben hat, wird auch nicht einzeln auf die Fläche gesetzt (Schale.frei): ein Kringel auf der alten Weite stünde neben der Mütze. Der Afro-Randstrich läuft nur, wo Masse über dem Kopf steht; die Wickel der Lockenwolke sind gedämpft, wo der Rand am Kopf anliegt.

Die Haube über der Krone

Symptom: der Afro lag als Haube über der Krone, die Mütze war nur noch der Aufschlag.

Ursache: der erste Anlauf ließ das Haar an Höhe gewinnen, was es an Weite verlor. Die Punkte stiegen mit der Weite der Aufschlagkante bis zur Krone hinauf, wo die Mütze schmaler ist, und standen dort vor ihr.

Lösung: die Weite entscheidet, Höhe kommt nicht dazu. Und die Hindernistafel ist ein Höchstwert über Nachbarfächer – an der Krone, wo die Mütze mit jeder Zeile schmaler wird, ist sie zu weit; also zusätzlich eine Zeile höher fragen.

Der Absatz, den der Umriss nicht sieht

Symptom: ein leeres Fach zwischen zwei Ringen der Schale, der Bogen bricht; von vorn fehlt die halbe Frisur, beim Nicken ist sie da.

Ursache: ein Band fester Höhe unter der Kante machte aus einer weiten Frisur einen waagerechten Absatz. Der radiale Umriss sieht keine Stufe.

Lösung: ein Kegel hat keine Stufe. Dazu die Afro-Kugel unter der Mütze mit 40 statt 16 Ringen – grob war schon zwischen zwei Ringen ein Absatz.

Der Ansatz beim Hochkucken

Symptom: schaut der Kopf nach oben, bildete Haar einen waagerechten Absatz neben den Mützenecken, in Randhöhe. Der hintere Teil rutschte tiefer, wie er soll – aber man sah ihn nicht.

Ursache: die sichtbare Oberkante war Haar vorn und seitlich direkt unter dem Rand, das vor dem hinteren Teil stand. Zwei Stunden gingen an den hinteren Teil, der schon richtig war.

Lösung: vorn und seitlich Kegelfuß am Schädel und Kegel 0.5, hinten unverändert, Übergang über etwa 40° hinter der Seite. Und die Lehre: bei „vorn" und „hinten" erst mit einer Probe prüfen, welche Punkte die Kante zeichnen – dann reden.

Hinten und vorn

Was hinter dem Kopf hängt, wird VOR der Kopffläche gezeichnet und von ihr verdeckt. Das ist der ganze Trick für „hinter" – keine Maske, zwei Pässe. Nur die Mütze fragt stattdessen den Tiefenpuffer.

Er trägt die Zöpfe, die volle Afro-Kugel und die Kopfhörer. Bei den Kopfhörern läuft die Teilung mitten durch die Figur: hinten der ganze Bügel und die abgewandte Muschel, vorn die zugewandte Muschel und die Bügelstücke, deren Haut dem Betrachter zugewandt ist. Ohne diese Teilung lag die ferne Muschel bei jeder Drehung mitten im Gesicht.

Beim Afro ist der hintere Pass mehr als ein Anhängsel: dort wird die volle Kugel gezeichnet, die der Kopf danach in der Mitte wieder zudeckt. Ein Gebiet nur aus Umriss und Ansatz ließe an den Schläfen zwei Zwickel offen – genau dort, wo ein Afro am vollsten ist, schaute das Blatt durch.

Der Platzbedarf

Bis hierher war der Platz keine Frage: alles, was ein Kopf trug, blieb in seiner Nähe. Eine Frisur, die ihre eigene Form mitbringt, kann breiter sein als der Kopf hoch ist. Wer den Platz nicht kennt, hat zwei schlechte Möglichkeiten – die Frisur läuft in die Nachbarzelle, oder alle Köpfe werden vorsorglich kleiner.

Also meldet der Stil an, was er braucht. Drei Dinge tun das: hutRaum (Krempe und Krone), duttRaum (der Knoten sitzt obendrauf und darf groß sein) und kugelRaum (der Afro, samt Beulen und Fransen). Wie der Aufrufer damit umgeht – und warum er lieber das ganze Blatt verkleinert als einen einzelnen Kopf –, steht im Kapitel Das Blatt.